INTERGRAL DAN POTONGAN ALAM SEMESTA


Namun bagaimana dengan perubahan dengan tingkat yang berubah-ubah? Perubahan seperti ini semuanya ada di sekitar kita – pada kecepatan yang makin tinggi ketika uang logam dijatuhkan dari gedung tinggi, pada pasang dan surut gelombang laut, pada orbit oval dari planet-planet, pada irama fisiologis di dalam tubuh kita. Hanyalah kalkulus yang dapat menangani akumulasi perubahan yang tidak seragam seperti contoh-contoh di atas.

Lambang dan tanda matematika seringkali misterius, namun yang terbaik dari mereka bermakna sesuai dengan tampilannya. Tanda untuk kosong, satu dan tak-hingga cocok untuk menunjukkan lubang kosong, tanda tunggal dan putaran yang tiada akhir: 0, 1, ∞. Lalu tanda sama dengan, =, dibentuk oleh dua garis sejajar karena, menurut penemunya, matematikawan Wales Robert Recorde pada tahun 1557,”tak ada dua hal yang lebih sama.”

Pada kalkulus, lambang yang paling terkenal adalah tanda integral:

Garis yang menarik ini mirip dengan simbol-simbol musik atau lubang-f biola – suatu kebetulan yang cocok sebab beberapa keseimbangan yang paling canggih dalam matematika dikemukakan oleh integral. Namun alasan sejati Leibniz memilih lambang ini sebenarnya tidak puitis banget. Lambang ini hanyalah huruf S dengan leher panjang, singkatan dari “summation” (pencarian jumlah).

Jumlah apa yang sedang dicari tergantung dari lingkupnya. Pada astronomi, tarikan gravitasi matahari terhadap bumi digambarkan oleh suatu integral. Integral ini mewakili pengaruh kolektif semua gaya-gaya mungil yang dilakukan oleh tiap atom matahari dengan berbagai jarak yang berbeda dari bumi. Pada onkologi, massa yang membesar dari tumor padat dapat dimodelkan oleh suatu integral. Pun, jumlah kumulatif obat yang diberikan ketika sesi kemoterapi.

Dalam sejarahnya, integral muncul pertama kali dalam geometri, dalam kaitannya dengan masalah pencarian luas daerah kurva. Sebagaimana kita pelajari sebelumnya, luas lingkaran dapat dipandang sebagai jumlah banyak potongan mungil. Dalam teori limit tentang banyak potongan yang jumlahnya tak hingga, tiap potongan amat sangat mungil, potongan-potongan itu dapat disusun kembali ke dalam suatu kotak yang luas areanya jauh lebih mudah dicari. Semacam inilah pemakaian dari integral. Semuanya tentang mengambil sesuatu yang rumit lalu mengiris-irisnya lalu menyusun kembali dalam bentuk kotak agar jauh lebih mudah menjumlahkannya.

Metode ini dikembangkan juga untuk obyek tiga dimensi, Archimedes (dan sebelum dia, Eudoxus, sekitar 400 SM) menghitung isi bola, kerucut, drum, prisma dan berbagai bentuk pejal dengan membayangkan semua bentuk itu sebagai tumpukan banyak potongan atau cakram, seperti potongan kecil-kecil ikan salami. Dengan menghitung isi dari berbagai potongan, lalu dengan cerdas memadukan semua potongan itu – menumpuk kembali semuanya – mereka bisa menurunkan volume total dari bentuk asalnya.

Hari ini pun kita masih menantang matematikawan dan ilmuwan untuk mempertajam keahlian metode integral mereka untuk memecahkan masalah-masalah klasik geometri. Masalah-masalah ini termasuk yang paling sulit sehingga banyak siswa membencinya. Namun tak ada cara yang lebih pasti untuk memoles kemampuan integral yang diperlukan untuk proses lanjutan pada tiap disiplin ilmu dari fisika hingga keuangan.

Salah satu tantangan otak adalah menghitung volume bentuk 3D dua silinder kembar yang saling beririsan secara siku-siku, seperti pipa kompor di dapur. Perlu imaginasi berbakat untuk memvisualisasikan bentuk ini dengan jelas.

Jadi, tak perlu malu mengakui kekalahan dan mencari suatu cara untuk membuat bentuk ini lebih jelas. Untuk melakukannya, anda bisa memlih cara yang dipakai guru SMU saya – ambil sebuah kaleng lalu potong bagian atasnya dengan gunting besi sehingga membentuk bor tabung. Tancapkan kaleng itu ke dalam kentang Idaho yang besar atau ke dalam Styrofoam secara dua arah bolak-balik. Periksa hasilnya sesuka anda.

Lepaskan kentang dan Styrofoam, hasilnya kami tunjukkan seperti gambar berikut:

Bangun ini amat menarik. Penampangnya bujursangkar meskipun dibentuk dari tabung lingkaran. Bangun ini merupakan tumpukan banyak sekali lapisan tipis, mulai dari kotak besar di tengah lalu makin lama mengecil hingga satu titik di atas dan dasar.

Animasi komputer memungkinkan untuk mengungkap struktur bangun ini dengan jauh lebih mudah dan anggun.

Namun, penggambaran bangun ini hanyalah tahap pertama. Masih harus dihitung berapa isinya.

Archimedes berhasil menemukannya hanya karena kecerdasannya yang memikat. Dia memakai metode mekanis berdasarkan pengungkit dan pusat gravitasi, yaitu menimbang berat bangun itu dalam pikirannya dengan menyeimbangkannya dengan benda lain yang sudah dipahami isinya. Kelemahan pendekatannya, selain kecerdasannya yang luar biasa, adalah hanya terbatas pada bentuk-bentuk tertentu.

Bangun konseptual ini memusingkan matematikawan terkenal dunia selama sembilan belas abad kemudian…hingga Gregory, Barrow , Newton dan Leibniz merumuskan apa yang saat ini dikenal sebagai Teorema Dasar Kalkulus pada pertengahan tahun 1600-an. Teorema ini merupakan penghubung yang hebat antara integral dan turunan. Teorema ini mengembangkan semesta integral yang dapat diselesaikan dan memudahkan penghitungan. Bahkan hari ini komputer dapat diprogram untuk memakainya – demikian pula para siswa. Dengan komputer, masalah pipa kompor yang dulunya tantangan kelas dunia menjadi sekedar latihan yang mudah dijangkau secara luas.

Tentunya tidak praktis memaparkan Teorema Dasar di sini. Sebagai gantinya saya akan menggambarkan mengapa teorema ini merupakan temuan yang agung. Teorema ini membuat matematikawan dapat meramalkan dunia yang selalu berubah dengan presisi yang jauh lebih besar daripada sebelumnya.

Jenis perubahan yang paling sederhana dapat ditangani oleh aljabar. Ketika sesuatu berubah dengan teratur, lajunya tetap, ajabar menanganinya dengan amat cantik. Ini adalah ranah “jarak sama dengan kecepatan kali waktu.” Contohnya, sebuah mobil melaju tetap 96 kilometer per jam pasti akan menempuh 96 kilometer pada jam pertama dan 192 km pada akhir jam kedua.

Namun bagaimana dengan perubahan dengan tingkat yang berubah-ubah? Perubahan seperti ini semuanya ada di sekitar kita – pada kecepatan yang makin tinggi ketika uang logam dijatuhkan dari gedung tinggi, pada pasang dan surut gelombang laut, pada orbit oval dari planet-planet, pada irama fisiologis di dalam tubuh kita. Hanyalah kalkulus yang dapat menangani akumulasi perubahan yang tidak seragam seperti contoh-contoh di atas.

Selama hampir dua millennium setelah Archimedes, hanya ada satu cara untuk meramalkan jumlah dari perubahan yang terus berubah: jumlahkan potongan-potongan yang berbeda, sedikit demi sedikit. Cara ini seringkali tak dapat dilakukan. Menjumlah potongan-potongan yang jumlahnya tak terhingga sangatlah sulit.

Teorema Dasar membuat banyak masalah ini dapat diselesaikan – memang tidak semuanya tetapi jauh lebih banyak daripada sebelumnya. Teorema ini sering memberi jalan pintas untuk menyelesaikan integral, setidaknya untuk fungsi-fungsi sederhana (fungsi jumlah dan hasil perpangkatan, eksponensial, logaritma dan trigonometri) yang menjelaskan sekian banyak fenomena di alam.

Dari sudut pandang ini, warisan yang terus bertahan dari kalkulus integral adalah pandangan Veg-O-Matic tentang alam semesta. Newton dan para penerusnya mengajari kita bahwa alam terbentang dalam potongan-potongan. Secara konsep semua hukum fisika klasik yang ditemukan selama 300 tahun terakhir ternyata mempunyai sifat ini, terwujud dalam bentuk gerakan partikel atau aliran panas, listrik, udara atau air. Dengan memakai hukum-hukum alam, kondisi pada tiap waktu atau ruang menentukan apa yang terjadi pada potongan-potongan berikutnya.

Dampaknya amat dalam. Untuk pertama kalinya dalam sejarah, ramalan rasional menjadi mungkin…tidak hanya satu potong dalam satu waktu, tetapi dengan bantuan Teorema Dasar, menjadi lompatan-lompatan.

Karena itu kita perlu mengubah jargon kuno untuk integral: “Potonglah dan Bentuk Kotak” menjadi “Hitung Ulang. Jalur yang lebih baik telah tersedia.”

 

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s